Distribucion Binomial

Distribución binomial
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En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli , con una probabilidad fija θ de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernoulli, a la que puede llegarse nuevamente haciendo n = 1.

Su función de masa de probabilidad está dada por:



para , siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Por ejemplo, la distribución binomial se puede usar para calcular la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En realidad solo se calcula la probabilidad de sacar 5 caras, pero como es lógico si en 12 lanzamientos de una moneda sacamos 5 caras el resto deben ser cruces, 7 en este caso.

Por lo tanto debemos definir la variable "X: Número de caras obtenidas en 12 lanzamientos de moneda". En este caso se tiene que y resulta:


Observese que para el caso concreto de la moneda al ser la probabilidad de éxito θ = 0,5 la función de masa de probabilidad solo depende del número combinatorio ya que:

0,5x(1 − 0,5)n − x = 0,5x0,5n − x = 0,5n − x + x = 0,5n que es constante para un n fijo.

Su media y su varianza son:






Experimento binomial [editar]La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:

El experimento consiste en una secuencia de n ensayos, donde n se fija antes del experimento.
Los ensayos se realizan bajo idénticas condiciones, y cada uno de ellos tiene unicamente dos posibles resultados, que se denotan a conveniencia por éxito (E) o fracaso (F) (p(E)+p(F)=1).
Los ensayos son independientes, por lo que el resultado de cualquier ensayos en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
La probabilidad de éxito es idéntica para todos los ensayos.
Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial X está definida como

X = el número de E entre los n intentos.


Relaciones con Otras variables aleatorias [editar]Se verifica que si son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de parámetro , y todas ellas independientes entre sí, entonces resulta ser una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros .

Además, si n es grande y es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro

Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal.


Propiedades reproductivas [editar]Dadas n variables aleatorias , tales que

todas tienen una distribución binomial
todas tienen el mismo parámetro
cada una tiene su propio parámetro (es decir, los n no necesariamente tienen que ser iguales)
son todas independientes entre sí
se toma la variable aleatoria
se toma
Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros y .


Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero todas tienen igual , su suma es también una variable binomial, cuyo parámetro n es la suma de los n de las variables originales, y cuyo parámetro coincide con el de las originales.

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